Senin, 05 Desember 2016

Jumlah dan Hasil Kali Tangen Sudut pada Segitiga ABC

Misalkan terdapat segitiga ABC, dengan jumlah sudut A+B+C = 180 derajat. Berapakah $\tan A + \tan B + \tan C$? Berapakah $\tan A \tan B \tan C$?

Untuk menghitung nilai dari tangen tersebut, kita lakukan beberapa observasi dahulu (yang gw rasa cukup obvious, sih). Karena jumlah sudut segitiga ABC = 180 derajat (anggap segitiga ada pada permukaan datar), berarti
\begin{equation}
A+B+C = 180^{\circ}\\
A+B = 180^{\circ} - C
\end{equation}.
Maka, dapat dilihat bahwa
\begin{equation}
\tan(A+B) = \tan(180^{\circ}-C)
\end{equation}.
Perlu diingat bahwa $\tan 180^{\circ} = 0$ , dan juga terdapat identitas
\begin{equation}
\tan(A\pm B) = \frac{\tan(A) \pm \tan(B)}{1\mp \tan A \tan B}
\end{equation}.
Dengan begitu, maka persamaan yang kita dapatkan tadi bisa diubah menjadi bentuk
\begin{equation}
  \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1-\tan A \tan B} = \frac{\tan(180^{\circ}) - \tan(C)}{1+\tan (180^{\circ}) \tan C}
\end{equation}
Mengalikan kedua ruas dengan $1-\tan A \tan B$ dan mensubtitusikan $\tan(180^{\circ})$ dengan 0, didapat
\begin{equation}
\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C\\
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C
\end{equation}.
Dari bentuk di atas, dapat dilihat bahwa jumlah tangen ketiga sudut pada segitiga ABC sama dengan hasil kali tangen pada segitiga ABC.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

-Mohon untuk tidak spam di komentar-