Rabu, 07 Desember 2016

Kuadrat Nilai Mutlak Bilangan Kompleks, Formula Euler dan Gelombang Materi

Ketika menghadapi fungsi gelombang materi, acapkali kita akan berhadapan dengan bilangan kompleks. Misalnya saja, bentuk
\begin{equation}
\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}
\end{equation}
yang merupakan solusi dari persamaan Schrodinger satu dimensi untuk partikel bebas
\begin{equation}
\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi = 0
\end{equation}.
Lalu, bagaimana bila kita hendak menghitung densitas probabilitas $|\psi|^2$, yang merupakan kuadrat dari nilai mutlak suatu bilangan kompleks $\psi$?

Motivasi dari masalah ini merupakan salah satu soal di buku "Fisika Dasar Jilid 3 Edisi 7" karya Halliday. Tepatnya soal nomor 58 di bab 38 (Foton dan Gelombang Materi). Namun, ini bisa digeneralisir pula untuk kuadrat nilai mutlak bilangan kompleks lainnya.

Sebenarnya, cukup mudah untuk menghitung kuadrat nilai mutlak bilangan kompleks, apabila bilangan tersebut sudah dalam bentuk $a + ib$, karena nilai mutlaknya adalah $\sqrt{a^2 + b^2}$, yang dapat dilihat secara langsung apabila kita menggambar grafik yang memecah $a+ib$ ke dalam bagian real dan imajinernya, dan menggunakan teorema phytagoras. Misalnya, seperti pada gambar berkut.

Kembali kepada soal nomor 58 tadi. Kita akan fokus pada subsoal (a). Berikut soalnya,
"Dalam persamaan 38-18 pertahankan kedua suku, menjadikan A = B = $\psi_0$. Persamaan ini kemudian menggambarkan superposisi dari gelombang dua materi pada amplitudo yang sama, bergerak pada arah yang berlawanan . Tunjukkan \begin{equation} |\Psi(x,t)|^2 = 2\psi_0^2 [1+\cos 2kx] \end{equation}."

Sebagai referensi, persamaan 38-18 adalah $\Psi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)} + Be^{-i(kx+\omega t)}$.

Ide yang gw pake untuk menyelesaikan soal ini adalah dengan mengubah bentuk persamaan 38-18 ke dalam bentuk yang disebut di soal (A = B = $\psi_0$), dan memanipulasi sedemikian rupa agar menjadi bentuk $a+ib$. Untuk itu, digunakan suatu formula, yang disebut formula Euler. Bunyinya sebagai berikut,
\begin{equation}
e^{ix} = \cos x + i \sin x
\end{equation}.
Melihat bentuknya, gw yakin bisa terlihat kenapa gw pake formula itu. Jadi sekarang bentuk yang kita punya kan $\psi_0 e^{i(kx-\omega t)} + \psi_0 e^{-i(kx+\omega t)}$, yang berarti sama aja kayak bentuk $\psi_0(e^{i(kx-\omega t)} + e^{-i(kx+\omega t)})$. Nah pakai formula Euler, didapat bentuk
\begin{equation}
\psi_0 [\cos(kx-\omega t) + \cos(kx + \omega t) + i (\sin(kx - \omega t) - \sin(kx+\omega t))]
\end{equation}.
Dengan menggunakan identitas trigonometri, bentuk tersebut dapat dimanipulasi menjadi
\begin{equation}
 \psi_0[2 \cos(kx) \cos(\omega t) + i (2\cos(kx)\sin(\omega t))]
\end{equation}.
 Sadar sesuatu? Kita berhasil dapat bentuk $a+ib$ yang kita cari. Bentuk tersebut adalah $a = 2 \psi_0 \cos(kx)\cos(\omega t)$ dan $b = 2\psi_0 \cos(kx)\sin(\omega t)$. Dengan aljabar sederhana, $a^2$ dan $b^2$ dapat dengan mudah dihitung. Kuadrat nilai mutlak yang kita cari nilainya $a^2 + b^2$, yang mana bernilai $a^2 + b^2 = 4 \psi_0^2 \cos^2(kx)[\cos^2(\omega t) + \sin^2 (\omega t)]$. Dengan manipulasi aljabar, kita dapatkan bentuk
\begin{equation}
a^2 + b^2 = 4 \psi_0^2 \frac{[1 + \cos(2kx)]}{2}\\
a^2 + b^2 = 2 \psi_0^2 [1+\cos(2kx)]
\end{equation}
yang mana memenuhi bentuk pada soal.

Yah kurang lebih begitu cara menghitung kuadrat nilai mutlak bilangan kompleks, dan menggunakan formula Euler pada bilangan kompleks, serta penerapannya pada permasalahan fisika.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

-Mohon untuk tidak spam di komentar-