Kamis, 06 Oktober 2016

Bermain dengan Bilangan Fibonacci : Jumlah Bilangan Fibonacci

Seperti yang pernah gw bilang di post ini, fibonacci itu bisa dibilang sequence bilangan favorit gw. Kalau sebelumnya gw pernah ngebahas tentang teorema Zeckendorf, sekarang gw bakal bahas tentang jumlah bilangan fibonacci.
Untuk fibonacci sendiri gw rasa ga perlu gw definisikan lagi ya, bisa baca di post gw sebelumnya, atau googling. Sekarang, misalkan $\sum_{i=1}^n F_i$ merupakan jumlah bilangan fibonacci dari $F_1 = 1$ sampai $F_i$, kita buat hipotesis $\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1$.

Untuk ngebuktiin hipotesis ini, kita bakal pakai metode induksi matematika.
Pertama, mulai dari basis induksi.

Untuk $n = 1$, $F_1 = F_3 - 1 = 2-1 = 1$, sehingga basis induksi benar.

Masuk ke langkah induksi.
Untuk $n = k+1$, maka :
$F_1 + F_2 + ... + F_k + F_{k+1} = F_{(k+1)+2} - 1$
Berdasarkan hipotesis induksi, bentuk di atas dapat ditulis ulang sebagai
$F_{k+2} - 1 + F_{k+1} = F_{(k+1)+2} - 1$
Dengan menggunakan definisi fibonacci pada ruas kiri, dan menyusun ulang  ruas kanan, didapat
$F_{k+2} + F_{k+1} -1 = F_{k+2} + F_{k+1} - 1$
Ruas kiri = ruas kanan.
Dengan itu, hipotesis induksi benar untuk $n \in Z^+$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

-Mohon untuk tidak spam di komentar-